Ροπή vs Ισχύς και Βέλτιστη αλλαγή ταχύτητας

Παραθέτω αυτούσιο, πολυ ενδιαφερον πόστ συναδέλφου απο το clubpunto . Ειναι λιγο μεγάλο αλλα αξιζει τον κοπο να το διαβασουμε.
-----------------------

Το ξέρω ότι το post είναι μεγάλο και πιθανώς κουραστικό, αλλά προσπάθησα να αναλύσω το θέμα τόσο, ώστε και κάποιος χωρίς πολλές γνώσεις να μπορέσει να το παρακολουθήσει.
Οι υπόλοιποι μπορούν να πάνε κατευθείαν στο τέλος.

[hr]
Ποιος είναι ο νικητής στη μάχη ΡΟΠΗΣ και ΙΣΧΥΟΣ;
Η απάντηση είναι απλή.

Φυσικά η ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ.

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

Αυτό είναι που επιζητούμε όταν αναφερόμαστε στις επιδόσεις ενός αυτοκινήτου. Όποιο αυτοκίνητο έχει μεγαλύτερη επιτάχυνση, θα αυξήσει την ταχύτητά του γρηγορότερα, και θα καλύψει μεγαλύτερη απόσταση. Ναι αλλά, τι γίνετε με την ροπή και την ισχύ, και πως συνδέονται με την επιτάχυνση;

Λοιπόν ας πιάσουμε τα πράγματα από την αρχή.

Στην αρχή έγινε το Bing Bang και μετά εμφανίστηκαν οι δεινόσαυροι, ύστερα η Γη κρύωσε και οι δεινόσαυροι πέθαναν, και μετά από μερικά εκατομμύρια χρόνια γεννήθηκε κάποιος Newton. Ξέρετε, αυτός που έβγαλε κάποιους νόμους, που μάθαμε στην Α' Λυκείου. Ε λοιπόν εμάς τώρα μας ενδιαφέρει ο 2ος νόμος:

ΣF = m * a

ή

a = ΣF / m

Δηλαδή, η ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ενός σώματος a είναι ίση με το πηλίκο της συνισταμένης δύναμης ΣF που δέχεται το σώμα προς την μάζα του m.

Άρα για να βρούμε την επιτάχυνση ενός αυτοκινήτου πρέπει να ξέρουμε την μάζα του (εύκολο) και την δύναμη (ή της δυνάμεις που το "κινούν").

Ξέρω, ξέρω, ακόμη δεν ανέφερα τίποτε για ροπή ή ισχύ. Υπομονή.

Αν μια δύναμη μετακινεί ένα σώμα, τότε του δίνει (ή του παίρνει) ενέργεια. Την ενέργεια αυτή την ονομάζουμε έργο. Αν η δύναμη F που ασκούμε στο σώμα είναι παράλληλη με την μετατόπιση Δx, τότε το έργο W της δύναμης είναι:

W = F * Δx

Τώρα είναι η ώρα που εμφανίζετε ο πρώτος μονομάχος.

ΙΣΧYΣ

Ισχύς είναι ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας. Ή για να το πούμε πιο απλά, η ισχύς P είναι ίση με το πηλίκο της μεταβολής της ενέργειας ΔΕ προς το χρόνο Δt στον οποίο έγινε αυτή η μεταβολή.

P = ΔΕ / Δt

Αν μεταβολή της ενέργειας οφείλετε μόνο στο έργο τότε η ισχύς είναι:

P = W / Δt => P = F * Δx / Δt

Όμως Δx / Δt είναι η ταχύτητα υ.

Άρα η ΙΣΧΥΣ P που παράγετε από μια δύναμη F που "κινεί" ένα σώμα με ταχύτητα υ είναι:

P = F * υ

ΤΙ ΚΙΝΕΙ ΤΟ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟ;

Και θα μου πείτε όλα καλά. Αλλά εμάς μας ενδιαφέρει η δύναμη που σπρώχνει το αυτοκίνητο μπροστά. Ποια είναι αυτή η δύναμη και που ασκείτε; Ας ξεκινήσουμε με το εύκολο, η δύναμη αυτή ασκείτε στο μοναδικό σημείο επαφής του αυτοκινήτου με κάτι άλλο. Δηλαδή στην επιφάνεια επαφής ελαστικού-οδοστρώματος. Με άλλα λόγια αυτό που "σπρώχνει" το αυτοκίνητο είναι το οδόστρωμα. Μην παραξενεύεστε.

Στο αυτοκίνητο, ο κινητήρας περιστρέφετε και με την σειρά του (μέσω του συστήματος μετάδοσης) τείνει να περιστρέψει τους κινητήριους τροχούς. Αν δεν υπάρχει τριβή μεταξύ ελαστικού και οδοστρώματος, ο τροχός απλά σπινάρει. Όμως η τριβή είναι σαν τον Θεό, πανταχού παρούσα, και το ελαστικό ασκεί δύναμη στο οδόστρωμα, με φορά προς τα πίσω (ή προς τα μπροστά όταν κάνουμε όπισθεν).

Τώρα, θυμάστε εκείνο τον τύπο μετά τους δεινοσαύρους; Ναι τον Newton. Ε λοιπόν ο Newton μετά τον 2ο νόμο έβγαλε και 3ο, τον νόμο δράσης-αντίδρασης.
"Όταν ένα σώμα ασκεί δύναμη (δράση) σε ένα άλλο, τότε και το δεύτερο σώμα ασκεί μια δύναμη (αντίδραση) στο πρώτο, ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς"

Έτσι μπορεί ο τροχός να ασκεί δύναμη στο οδόστρωμα προς τα πίσω, αλλά και το οδόστρωμα ασκεί δύναμη στον τροχό προς τα μπροστά. Σκεφτείτε το ανάλογο, όπου ένας άνθρωπος πάνω σε πατίνια κοιτά έναν τοίχο και τον σκουντάει. Μπορεί ο άνθρωπος να "προκαλεί" την κίνηση (να δίνει την ενέργεια), όμως αυτό που κίνησε τον άνθρωπο (προς τα πίσω) ήταν η δύναμη που άσκησε ο τοίχος στον άνθρωπο (αντίδραση).

Πως μπορούμε να υπολογίσουμε την δύναμη της τριβής που ασκείτε από το οδόστρωμα στο ελαστικό;

Εδώ εμφανίζεται ο δεύτερος μονομάχος.

ΡΟΠΗ

Τι είναι όμως ροπή;
Για να το πούμε απλά, ότι ρόλο παίζει η δύναμη στη μεταφορική κίνηση, τον ίδιο ρόλο παίζει η ροπή στην περιστροφική κίνηση.
Σκεφτείτε ότι θέλετε να ανοίξετε (δηλαδή να περιστρέψετε) μια "βαριά" πόρτα. Δεν παίζει ρόλο μόνο το ΠΟΣΗ δύναμη θα ασκήσετε, αλλά και το ΠΟΥ και το ΠΩΣ θα την ασκήσετε.
Προφανώς, για να έχετε μέγιστη αποτελεσματικότητα, θα σπρώξετε την πόρτα κάθετα στην επιφάνειά της (ούτε διαγώνια, ούτε πάνω ή κάτω, γιατί το μόνο που θα καταφέρετε είναι να την βγάλετε από τον μεντεσέ).
Επίσης όσο πιο μακριά από τον μεντεσέ (άξονα περιστροφής) σπρώξετε τόσο πιο εύκολα θα ανοίξει η πόρτα.
Άρα για την περιστροφή ενός σώματος παίζει ρόλο η δύναμη, η απόσταση του σημείου εφαρμογής της δύναμης από τον άξονα περιστροφής και η κατεύθυνση της δύναμης. Το μέγεθος που λαμβάνει όλα τα παραπάνω υπόψη είναι η ροπή.
Αν η δύναμη F είναι κάθετη στην απόσταση d του σημείου εφαρμογής της δύναμης από τον άξονα περιστροφής, η ροπή τ δίνετε από τον τύπο:

τ = F * R

Η ροπή στο τροχό ττ ασκεί την δύναμη τριβής στο οδόστρωμα προς τα πίσω που είναι ίση κατά μέτρο με τη δύναμη τριβής που ασκεί το οδόστρωμα στον τροχό, και άρα στο αυτοκίνητο, με αποτέλεσμα να το κινεί προς τα εμπρός:

ττ = Fτ * R

όπου R η ακτίνα του τροχού.
Ο τύπος της ισχύος για τη περιστροφική κίνηση παίρνει την παρακάτω μορφή:

P = τ * ω => P = τ * 2π * f

όπου ω η γωνιακή ταχύτητα (ω = 2π * f όπου η συχνότητα).

ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ - ΚΙΒΩΤΙΟ

Ο κινητήρας παράγει μια ισχύ Pκ η οποία μέσω του συστήματος μετάδοσης μεταφέρετε στο τροχό Pτ. Φυσικά ξέρουμε ότι οι δύο αυτές ισχύεις δεν είναι ίσες. Αυτό οφείλετε στις απώλειες λόγω τριβών στο σύστημα μετάδοσης. Ας θεωρήσουμε όμως ότι δεν υπάρχουν τριβές στο σύστημα μετάδοσης, τότε όλη η ισχύς του κινητήρα μεταφέρετε στους τροχούς:

Pτ = Pκ

Το κιβώτιο ταχυτήτων αποτελείται από γρανάζια διαφόρων ακτινών που μεταφέρουν την περιστροφική κίνηση από τον προτεύωντα άξονα στο δευτερεύοντα άξονα. Τι ρόλο όμως παίζει το κιβώτιο ταχυτήτων. Ο πρώτος ρόλος είναι προφανής. Υποπολλαπλασιάζει τις "στροφές" (ή καλύτερα την συχνότητα περιστροφής). Ο λόγος των ακτινών των δύο γραναζιών δίνει και τη σχέση των συχνοτήτων περιστροφής

n = rτ / rκ = fκ / fτ

όπου rτ και rκ οι ακτίνες του γραναζιού του δευτερεύοντα άξονα και του προτεύωντα άξονα, και fτ και fκ οι αντίστοιχες συχνότητες.
Έχει όμως και δεύτερο ρόλο, να αλλάζει την ροπή. Επειδή θεωρούμε ότι η ισχύς του κινητήρα μεταφέρετε ολόκληρη στους τροχούς έχουμε:

Pτ = Pκ => ττ * 2π * fτ = τκ * 2π * fκ => ττ * fτ = τκ * fκ => ττ = τκ * fκ / fτ => ττ = τκ * n

Αν λάβουμε υπόψη και το λόγο του διαφορικού nδ, τότε η ροπή που φτάνει στον τροχό είναι:

ττ = τκ * n * nδ

[hr]
Και τώρα όλα μπαίνουν στη σειρά.

Δηλαδή:

Ροπή κινητήρα (+ Λόγοι σχέσης κιβωτίου-διαφορικού) --> Ροπή στο τροχό (+ Ακτίνα τροχού) --> Δύναμη τριβής ελαστικού-οδοστρώματος (+ μάζα αυτοκινήτου) --> Επιτάχυνση

Ας μαζέψουμε τις σχέσεις.

Ροπή στο τροχό:

ττ = τκ * n * nδ

Δύναμη τριβής ελαστικού-οδοστρώματος:

ττ = Fτ * R => Fτ = ττ / R => Fτ = τκ * n * nδ / R

Επιτάχυνση αυτοκινήτου:

a = Fτ / m => a = (τκ * n * nδ) / (m * R)


a = [(n * nδ) / (m * R)] * τκ


Άρα η επιτάχυνση του αυτοκινήτου εξαρτάται από την ροπή του κινητήρα, το λόγο της σχέσης κιβωτίου, το λόγο του διαφορικού και την ακτίνα του τροχού και τη μάζα του αυτοκινήτου.

Κατά συνέπεια νικητής η ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ, δηλαδή και η ΡΟΠΗ.

Τρεις παρατηρήσεις:
1. Όλοι οι παράγοντες είναι λογικότατοι. Όσο μικρότερη είναι η μάζα του αυτοκινήτου και η ακτίνα του τροχού, τόσο μεγαλύτερη είναι η επιτάχυνση. Επίσης όσο πιο κοντό είναι το κιβώτιο (μεγάλα n και nδ) και μεγαλύτερη η ροπή, τόσο μεγαλύτερη είναι η επιτάχυνση.
2. Από όλους τους παράγοντες που εξαρτάται η επιτάχυνση τρεις μένουν σταθεροί κατά την διάρκεια μιας δοκιμής: η μάζα m, η ακτίνα του τροχού R και η σχέση του διαφορικού. Αυτό που μπορεί να αλλάζει είναι ο λόγος της σχέσης του κιβωτίου αν επιλέξουμε διαφορετική ταχύτητα στο κιβώτιο, και (εν γένει) η ροπή του κινητήρα καθώς είναι συνάρτηση των στροφών (συχνότητας) του κινητήρα.
3. Φυσικά υπάρχουν και άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν την επιτάχυνση του αυτοκινήτου, όπως (αυτός που αναφέραμε παραπάνω) απώλειες λόγω τριβών στο σύστημα μετάδοσης, τριβή κύλισης, αεροδυναμικές απώλειες.

Τέλος μπορούμε να βγάλουμε μια σχέση για την ταχύτητα του αυτοκινήτου υ και τις "στροφές" του κινητήρα:

υ = ωτ * R => υ = 2π * fτ * R =>

υ = 2π * R * fκ / (n * nδ)

ή

fκ = (υ * n * nδ) / (2π * R)


Υπολογιστής επιτάχυνσης

Στο παρακάτω link μπορείτε να δείτε την επιτάχυνση ενός αυτοκινήτου με βάση τα στοιχεία που ανέλυσα παραπάνω.

https://craig.backfire.ca/pages/autos/speed-calculator

Συστήνω στην επιλογή "Torque Curve Format" να επιλέγετε "REV HP" και να εισάγετε την ισχύ στο τροχό, ώστε να ληφθούν υπόψη και οι απώλειες του συστήματος μετάδοσης.

Επίσης στο διάγραμμα της επιτάχυνσης φαίνεται καθαρά, η συσχέτιση της επιτάχυνσης με την ροπή (και όχι με την ισχύ), μιας και έχουν την ίδια μορφή (ακόμη και αν εισάγετε την ιπποδύναμη).

Ενδεικτικά για Fiat Grande Punto t-jet Sport

Curb Weight: 2750 lb
Lowest Sane RPM: 800 RPM
Redline: 6400 RPM
Transmission Gear Ratios: 3.909,2.238,1.444,1.029,0.838:1 (Separate with commas)
Final Drive Ratio: 3.733:1
Tire Size: 205/45R17
Drag Coefficient (Cd): 0.31 (Set to 0 to disable all aerodynamics)
Frontal Area: 27.017 ft2
Torque Curve Format: REV HP
Torque Curve:
1800 28
1900 35
2000 41
2100 45
2200 47
2300 50
2400 53
2500 55
2600 58
2700 60
2800 62
2900 66
3000 69
3100 71
3200 74
3300 78
3400 84
3500 86
3600 86
3700 87
3800 87
3900 87
4000 87
4100 87
4200 88
4300 91
4400 92
4500 92
4600 92
4700 93
4800 94
4900 94
5000 95
5100 95
5200 94
5300 92
5400 92
5500 92
5600 90
5700 88
5800 87
5900 85
6000 83
6100 80
6200 78
6300 76
6400 74


Βέλτιστη αλλαγής ταχύτητας

Πότε πρέπει να κάνουμε αλλαγή ταχύτητας ώστε να πετυχαίνουμε τις καλύτερες επιδόσεις;
Απάντηση: Όταν η επιτάχυνση είναι μεγαλύτερη, στην παραπάνω σχέση ταχύτητας, π.χ. αν στην συγκεκριμένη ταχύτητα με 3η έχω μεγαλύτερη επιτάχυνση από ότι αν είχα 2α.
Πότε όμως συμβαίνει αυτό;

Υπάρχει περίπτωση να μην συμβαίνει ποτέ. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι όταν η ροπή του κινητήρα είναι σταθερή σε όλο το εύρος των στροφών. Σε αυτή την περίπτωση η επιτάχυνση επηρεάζεται μόνο από το λόγο της σχέσης του κιβωτίου n, και όπως είναι γνωστό οι μικρότερες ταχύτητες έχουν μεγαλύτερο λόγο και άρα μεγαλύτερη επιτάχυνση.
Οπότε η αλλαγή της ταχύτητας γίνετε στον κόφτη. Επίσης το ίδιο συμβαίνει όταν η ροπή αυξάνει με τις στροφές ή φθίνει λίγο.

Τι γίνετε όμως στην περίπτωση που η ροπή πέφτει σημαντικά καθώς αυξάνουμε τις στροφές; Σε αυτή την περίπτωση η αλλαγή της ταχύτητας πρέπει να γίνει αρκετά πριν τον κόφτη.



Στο διάγραμμα φαίνεται επιτάχυνση σε συνάρτηση με την ταχύτητα, με τις πέντε διαφορετικές σχέσεις του κιβωτίου. Είναι προφανές ότι οι αλλαγές πρέπει να γίνουν:

Αλλαγή 1η-2α πρέπει να γίνει στα 29mph (47km/h) (5900rpm με 1η)
Αλλαγή 2η-3η πρέπει να γίνει στα 50mph (80km/h) (5700rpm με 2α)
Αλλαγή 3η-4η πρέπει να γίνει στα 76mph (122km/h) (5650rpm με 3η)
Αλλαγή 4η-5η πρέπει να γίνει στα 102mph (164km/h) (5450rpm με 4η)


:thnx:

τέλειο...

Καλοοοοοοοο!:shok:

Βοηθάει να βλέπεις τα πράγματα που ήδη ξέρεις με άλλη οπτική γωνία...thumb

Ωραια τα μαθηματικα πραγματικα.

Εμενα παντως παντα με ενθουσιαζει εκεινος ο οδηγος ο οποιος εχει τοσο μεγαλη επαφη/γνωση και εμπειρια του αυτοκινητου του μεσω των χιλιαδων χλμ ωστε καταφερνει να ερθει κοντα στα παραπανω νουμερα μεσω εμπειριας και αισθησης.

Ωραιο post παντως οποιος γνωριζει απο μαθηματικα και τυπους και σχεσεις.

Ένα πιο "εύπεπτο" σε σχέση με τους τύπους και πιο επεξηγηματικό άρθρο για κάθε κοντράκια απο το περιοδικό power techniques τον Αύγουστο του 2006

Πολύ καλό! Με "απλή" φυσική επιπέδου λυκείου εξηγεί πολλά πραγματάκια :original:



Y.Γ δεν προτείνεται για μαθητές της θεωρητικής κατεύθυνσης :D :p